MATHEMA: Matemáticas: 2008

miércoles, 31 de diciembre de 2008

VIDEOS DE MATEMATICAS (Math videos)

El numero Phi

La belleza de los números

Belleza y las Matemáticas

Número aureo (1era parte)

Número aureo (2da parte)

Fibonacci: La magia de los números (1era parte)

Fibonacci: La magia de los números (2da parte)

La geometria se hace arte (1era parte)

La geometria se hace arte (2da Parte)

Movimientos en el plano (1era parte)

Movimientos en el plano (2da parte)

Geometria fractal: ¿Arte o ciencia?

Fractales: La geometria del caos (1era parte)

Fractales: La geometria del caos (2da parte)

Fractales: La geometria del caos (3era parte)

Euler: Una superestrella (1era Parte)

Euler: Una superestrella (2da parte)

Euler: Una superestrella (3era parte)

El ultimo teorema de Fermat (1era parte)

El ultimo teorema de Fermat (2da parte)

El ultimo teorema de Fermat (3era parte)

El ultimo teorema de Fermat (4ta parte)

El ultimo teorema de Fermat (5ta parte)

sábado, 8 de noviembre de 2008

LIBROS GRATIS DE MATEMÁTICA (mathematics books)

TEORIA DE LAS ECUACIONES (Uspensky)

Contenidos
Números complejos.- Polinomios de una variable.- Las ecuaciones algebraicas y sus raíces.- Acotación de raíces.- Raíces racionales.- Ecuaciones cúbicas y cuadráticas.- Separación de raíces.- Teorema de Sturm.- Cálculo aproximado de raíces.- Determinantes y matrices.- Resolución de ecuaciones lineales por determinantes.- Algunas aplicaciones de las determinantes a la geometría.- Funciones simétricas.- Eliminación.- El teorema fundamental de álgebra.- Acerca del teorema de Vincent.- Acerca de las ecuaciones cuyas raíces tienen parte real negativa.- Solución hiperactiva de la ecuación de frecuencia.- El método de Graeffe.- Respuestas a ejercicios.

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Libros de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES (Martin Braun)

Contenidos

Ecuaciones diferenciales de primer orden.-Ecuaciones diferenciales de segundo orden.-Sistemas de ecuaciones diferenciales.-Teoria cualitativa de las ecuaciones diferenciales.-Separacion de variables y series de Fourier.-Apendices.-Respuesta a los ejercicios de numero impar.

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Apuntes de EDO I 0 1 2 3 4 Pepe Aranda
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Álvaro Tejero y Pablo Ruiz

Libros de Límites, Derivadas e Integrales

Apuntes de Cálculo I 0 1 2 3 4 5 6 Pepe Aranda
Cálculo para la ingeniería Salvador Vera

Libros de Matemática Superior

Física Matemática José Rogan y Víctor Muñoz

Libros de Estadística y Probabilidades

Probabilidad Mario Raúl Azocar

Libros de Teoría de Números

Álgebra Renato A. Lewin

Libros de la Editorial MIR

Acerca de la Demostración en Geometría A. I. Festisov

Acerca de la Geometría de Lobachevski A. S. Smogorzhevski

Álgebra Extraordinaria I. M. Yaglom

Álgebra Lineal V. V. Voevodin

Álgebra Lineal y Algunas de sus Aplicaciones L. I. Goloviná

Álgebra Recreativa Y. Perelman

Álgebra Recreativa P1 y P2 Y. Perelman

Álgebra Vectorial en Ejemplos y Problemas P. B. Gusiátnikov - S. V. Reznichenko

Álgebra y Análisis de Funciones Elementales P1 P2 P3 y P4 M. Potápov - V. Alexándrov - P. Pasichenko

Álgebra y Funciones Elementales P1 P2 P3 y P4 R. A. Kalnin

Análisis Combinatorio P1 P2 y P3 K. Ribnikov

Análisis Combinatorio (Problemas y Ejercicios) P1 y P2 K. Ribnikov

Análisis Matemático en el Campo de Funciones Racionales G. E. Shilov

Análisis Matemático en Preguntas y Problemas V. F. Butúzov

Análisis Vectorial P1 y P2 M. L. Krasnov

Áreas y Logaritmos A. I. Markushevich

Breve Curso de la Teoría de Problemas Extremales P1 y P2 E. Galéec - V. Tijomírov

Breve Curso de Matemáticas Superiores P1 P2 P3 y P4 V. A. Kudriávtsev

Cálculo Diferencial e Integral Tomo I P1 y P2 N. Piskunov

Cálculo Diferencial e Integral Tomo II P1 y P2 N. Piskunov

Cálculo Variacional M. L. Krasnov

Característica Euleriana Yu Shashkin

Construcciones Geométricas Mediante un Compas A. N. Kostovski

Criterios de Divisibilidad N. N. Vorobiov

Curso Breve de Geometría Analítica N. Efimov

Curso de Álgebra Superior P1 P2 P3 y P4 A. G. Kurosch

Curso de Análisis Matemático 1 P1 P2 y P3 L. D. Kudriávtsev

Curso de Análisis Matemático 2 P1 P2 y P3 L. D. Kudriávtsev

Curvas Maravillosas, Números Complejos y Representaciones Conformes, Funciones Maravillosas A. I. Markushévich

De Cuántas Formas ? Combinatoria P1 y P2 N. Vilenkin

Desigualdades P. P. Korovkin
División de Figuras en Partes Menores V. Boltianski - I. Gojberg
División de un Segmento en la Razón Dada N. M. Beskin
División Inexacta A. A. Belski - L. A. Kaluzhnin
Ecuaciones Algebraicas de Grados Arbitrarios A. G. Kúrosch
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales P1 P2 y P3 V. P. Mijáilov
Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional P1 P2 y P3 L. Elsgoltz

Libros de la OEA

Álgebra Elemental Leopoldo Nachbin

Álgebra Lineal Orlando E. Villamayor

Álgebra Lineal y Geometría Euclideana Alexandre A. Martins Rodrigues

Análisis Multivariado: Métodos de Componentes Principales Laura Pla

Aritmética Elemental Enzo R. Gentile

Libros Variados

Álgebra de Matrices Mario Azócar Azócar

Cálculo Infinitesimal Mario Azócar Azócar

Cálculo Infinitesimal P1 P2 P3 y P4 Rey Pastor

Conceptos Fundamentales de Álgebra P1 P2 y P3 Bruce E. Meserve

Construcciones Planimétricas Ricardo Poenisch

Constructions Géométriques Julius Petersen

Cours de Mathématiques Supérieures Tomo I P1 P2 y P3 V. Smirnov

Cours de Mathématiques Supérieures Tomo II P1 P2 P3 y P4 V. Smirnov

Cours de Mathématiques Supérieures Tomo III P1 P2 P3 y P4 V. Smirnov

Cours de Mathématiques Supérieures Tomo III(2) P1 y P2 V. Smirnov

LIBROS PRE

Libros exclusivos para aquellos que van a postular a alguna universidad (UNI, SAN MARCOS, VILLARREAL, AGRARIA, CALLAO, Etc.)

Prueba de Selección Universitaria: Matemática 2008 Victor Jara
Cálculo Algebraico Patricia Kisbye y David Merlo
Talleres I y II Jesús Pérez Sánchez
Algebra I

jueves, 6 de noviembre de 2008

EL NUMERO pi y EL NUMERO e

EL NUMERO

π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el que se muestra en la figura anterior.
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo. Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).
El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados.

83.431 dígitos de Pi

83,431 Recited Digits of Pi - Akira Haraguchi, de 59 años, Japón, batió el récord del mundo al recitar 83.431 dígitos del número Pi de memoria, para lo que necesitó más de trece horas. Superó por prácticamente el doble el anterior récord del mundo de 42.195 dígitos, del también japonés Hiroyuki Goto (...) En Pi-World-Ranking-List están las reglas para participar, y hay una lista de récords organizados por continentes y países. Además de π también hay récords para e y para la raíz cuadrada de 2

Poster de Pi con 350.00 dígitos

Un poster de Pi con 350.000 digitos disponible en PDF para imprimirlo en gigantografia y ponerlo en la pared.

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Página Web con el numero PI

http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/

EL NUMERO

El número e es uno de los números más importantes en la matemática, junto con el número π, la unidad imaginaria i y el 0 y el 1, por ser los elementos neutros de la adición y la multiplicación, respectivamente. Curiosamente, la identidad de Euler los relaciona (e^iπ+1=0) de manera asombrosa. Además, en virtud de la fórmula de Euler, es posible expresar cualquier número complejo en notación exponencial.
El número e es llamado ocasionalmente número de Euler, debido al matemático suizo Leonhard Euler, o también constante de Neper, en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático. La constante e no debe ser confundida con γ, la constante de Euler-Mascheroni, a la que a veces se hace referencia como constante de Euler.
El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo, debido principalmente a que la función e^x coincide con su derivada, y por lo tanto, esta función exponencial suele aparecer en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por ecuaciones diferenciales sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. Si nos fijamos con atención, en todos estos ejemplos podemos encontrar el número e. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, la amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.) , químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.
El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.

Poster de e con 350.390 dígitos

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BIOGRAFIA DE MATEMATICOS (Mathematical)

Matemáticos que han aportado al progreso de la humanidad

Arquimedes de Siracusa

Arquímedes (Siracusa, Sicilia, 287 - 212 a.c.), matemático y geómetro griego, considerado el más notable científico y matemático de la antigüedad, es recordado por el Principio de Arquímedes y por sus aportes a la cuadratura del círculo, el estudio de la palanca, el tornillo de Arquímedes, la espiral de Arquímedes y otros aportes a la matemática, la ingeniería y la geometría.

Georg Cantor

Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918 ) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.

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¿Paraiso Perdido?

Descartes

Rene Descartes. Fue un filósofo, matemático y científico francés. Es considerado como el Pionero de la Filosofía Moderna y el creador de la noción de sujeto.
Al menos desde que Hegel escribió sus Lecciones de historia de la filosofía, en general se considera a Descartes como el padre de la filosofía moderna (independientemente de sus aportes a las matemáticas y la física).

Euclides

Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del año 300 a.C., ~(325 a. C.) - (265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría"
Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría, Egipto. Existen algunos otros datos poco fiables. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:

Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos y otras obras atribuidas a él.
Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.

Euler

Leonhard Euler (nombre completo, Leonhard Paul Euler) nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. También se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.[2] Una afirmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»

Fermat

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601 - Castres, Francia, 12 de enero de 1665), fue un jurista y destacado matemático. Fue abogado en el Parlamento de Toulouse, en el sur de Francia, y matemático clave para el desarrollo del cálculo moderno. También hizo notables contribuciones a la geometría analítica
Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.

Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777 – 23 de febrero de 1855, s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

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El principe de la matemática

Lagrange

Joseph Louis Lagrange (bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia) (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813) fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.

Laplace

Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía); 23 de marzo de 1749 - París; 5 de marzo de 1827) astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la Transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Fue un creyente del determinismo causal.

Leibniz

Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.
Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia.

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Maestro de todos los oficios

Ada Lovelace

Ada Augusta Byron King (10 de diciembre de 1815, Londres, Reino Unido - † 27 de noviembre de 1852, Londres, Reino Unido), única hija legítima del poeta inglés Lord Byron y de Annabella Milbanke Byron. Es conocida principalmente por haber escrito una descripción de la antigua máquina analítica de Charles Babbage.
Actualmente es considerada como la primera programadora, desde que escribió la manipulación de los símbolos, de acuerdo a las normas para una máquina de Charles Babbage que aún no había sido construida. También preveía la capacidad de las computadoras para ir más allá de los simples cálculos de números, mientras que otros, incluido el propio Babbage, se centraron únicamente en estas capacidades.

Newton
Sir Isaac Newton, (4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) fue un científico, físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la Mecánica Clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en el Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.
Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la Revolución científica.

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En la playa

Pascal

Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Auvernia, Francia, 19 de junio de 1623 - París, 19 de agosto de 1662) fue un matemático, físico, filósofo y teólogo francés, considerado el padre de las computadoras junto con Charles Babbage. Fue un niño prodigio, educado por su padre, un juez local.
Sus primeros trabajos abarcan las ciencias naturales y aplicadas, en dónde realizó importantes contribuciones para la invención y construcción de calculadoras mecánicas, estudios de la teoría matemática de probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío, generalizando la obra de Evangelista Torricelli. También escribió en defensa del método científico.
Pascal fue un matemático de primer orden. Ayudó a crear dos grandes áreas de investigación, escribió importantes tratados sobre geometría proyectiva a los dieciséis años, y más tarde cruzó correspondencia con Pierre de Fermat sobre teoría de la probabilidad, influenciando fuertemente el desarrollo de las modernas ciencias económicas y sociales. Siguiendo con el trabajo de Galileo y de Torricelli, en 1646 refutó las teorías aristotélicas que insistían en que la naturaleza aborrece el vacío, y sus resultados causaron grandes discusiones antes de ser generalmente aceptados.

Pitagoras

Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 a. C. - 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo al mismo Pitágoras. Afirmaba que todo es matemáticas, y estudió y clasificó los números.

Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866) fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes en análisis y geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann.

Zeno de Elea

Zenón de Elea (en griego Ζήνων ο Ελεάτης) fue un filósofo eleata griego nacido en Elea (¿490-430? adC). Al igual que Meliso de Samos, reforzó y argumentó a favor de la filosofía parmenidea, es conocido por sus paradojas, que en su época eran aporéticas, como las que niegan la existencia del movimiento o la pluralidad del ser. Zenón trató de probar que el ser tiene que ser homogéneo, único y, en consecuencia, que el espacio no está formado por elementos discontinuos sino que el cosmos o universo entero es una única unidad.
Inventó la demostración llamada ad/absurdum (reducción por el absurdo), que toma por hipótesis las afirmaciones del adversario y muestra los absurdos a los que se llegaría si esa hipótesis fuera verdadera, obligando al interlocutor, en última instancia, a aceptar la tesis opuesta a la que sostuvo en un principio.

Es necesario dejar constancia que los razonamientos de Zenón constituyen la huella más vieja que se conserva del pensamiento infinitesimal desarrollado muchos siglos después. El cálculo diferencial nace con Leibniz el año 1666. Por lo tanto, podría decirse y considerarse a este eleata como un precursor del cálculo infinitesimal, pero en ningún caso se puede decir que él dominara este pensamiento.

Abel

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Galois

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domingo, 21 de septiembre de 2008

MATEMÁTICA II 2008-II (Ingeniería de Sistemas e Informática)

Asignatura: Matematica II

Semana 01 ()
Semana 02 ()
Semana 03 ()
Semana 04 () Nivelacion
Semana 05 ()
Semana 06 ()
Semana 07 ()
Semana 08 (Examen Parcial)
Semana 09 ()
Semana 10 ()
Semana 11 ()
Semana 12 ()
Semana 13 ()
Semana 14 ()
Semana 15 ()
Semana 16 ()
Semana 17 (Examen Final)

Trabajo Grupal

Grupo 01: Metodo de Integracion de Funciones Racionales.

Grupo 02: Aplicacion de la Integral Definida a la Medicina.

Grupo 03: Aplicacion de la Integral Definida a la Fisica.

Grupo 04: Integrales Impropias con Limites Finitos.

Grupo 05: Metodo de Integracion de Funciones Racionales (Senos y Cosenos)

grupo 06: Aplicacion de la Integral Definida con Coordenadas Polares.

Grupo 07: Integrales Impropias con Limites Infinitos.

Grupo 08: Aplicacion de la Integral Definida a la Economia.

Libros recomendados para descargar gratis

Cálculo para la ingeniería Salvador Vera

viernes, 22 de agosto de 2008

ABP: APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS

Resumen
El Aprendizaje Basado en Problemas, desde sus inicios en la Escuela de Medicina de la Universidad de McMaster (Canadá), se presentó como una propuesta educativa innovadora, que se caracteriza porque el aprendizaje está centrado en el estudiante, promoviendo que este sea significativo, además de desarrollar una serie de habilidades y competencias indispensables en el entorno profesional actual. El proceso se desarrolla en base a grupos pequeños de trabajo, que aprenden de manera colaborativa en la búsqueda de resolver un problema inicial, complejo y retador, planteado por el docente, con el objetivo de desencadenar el aprendizaje auto dirigido de sus alumnos. El rol del profesor se convierte en el de un facilitador del aprendizaje.

Aunque la propuesta educativa se originó y se adoptó primero en las escuelas de medicina de diferentes universidades de prestigio, los logros alcanzados han motivado que sea adoptada en una gran variedad de instituciones y especialidades en todo el mundo.

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LIBROS